Наиболее вероятное число успехов

Более возможное число фурроров в серии повторных независящих испытаний – это такое число , при котором биномиальная возможность является большей для данного числа испытаний .

Таким макаром, возможность является большей посреди вероятностей , , …, , …, .

Более возможное число фурроров удовлетворяет неравенству

, либо .

Отметим, что - целое число и может быть не единственным.

Пример 5. Отыскать наивероятнейшее число пригодных деталей Наиболее вероятное число успехов посреди 19 проверяемых, если возможность детали быть пригодной, равна 0,9.

По условию задачки , , . Найдем целое число , удовлетворяющее неравенству: , либо , либо .

Это значит, что вероятности и - самые большие посреди всех биномиальных вероятностей при .

Наивероятнейшее число пригодных деталей равно 17 либо 18. Другими словами, при данных критериях посреди 19 проверяемых деталей скорее всего будет 17 либо 18 пригодных деталей Наиболее вероятное число успехов.

Локальная аксиома Муавра-Лапласа

2.1. Вычисление при огромных и не малых

Аксиома. При огромных значениях и не малых возможность возникновения действия раз в схеме из независящих испытаний Бернулли приближенно рассчитывается по формуле , где вспомогательная величина .

Функция именуется малой функцией Лапласа. Ее значения приведены в таблице (Приложение 1).

Пример 6. Отыскать возможность того, что при Наиболее вероятное число успехов 100 подкидываниях монеты герб появится ровно 50 раз.

Событие - возникновение герба при одном подкидывании монеты, . По условию задачки . Потому что число испытаний довольно велико, то разыскиваемую возможность найдем по приближенной формуле Муавра-Лапласа:

.

Значение найдено по таблице в Приложении.

2.2. Характеристики и график функции

-5 0 5

График функции

Характеристики функции

§ Функция четная: . Означает, ее Наиболее вероятное число успехов график симметричен относительно оси ординат.

§ Функция воспринимает только положительные значения. Означает, ее график выше оси абсцисс.

§ Если значения аргумента , то значение функции . Потому в таблице приведены значения функции только для значений аргумента от 0 до 5.

Интегральная аксиома Муавра-Лапласа

3.1. Вычисление при огромных

Аксиома. При большенном числе независящих испытаний возможность Наиболее вероятное число успехов возникновения действия от до раз приближенно рассчитывается по интегральной формуле Муавра-Лапласа , где и .

Функция именуется функцией Лапласа, еезначения приведены в таблице (Приложение 2).

3.2. Характеристики и график функции Лапласа

0,5

-5 0 5

-0,5

График функции Лапласа

Характеристики функции Лапласа

§ , означает, график проходит через начало координат.

§ - нечетная функция, означает, график симметричен относительно начала координат.

§ , означает, прямые и Наиболее вероятное число успехов являются горизонтальными асимптотами. При считают , а при считают

Пример 7. Отыскать возможность того, что при = 100 подкидываниях монеты герб появится от = 40 до = 60 раз.

Возможность найдем, применяя приближенную формулу Муавра Лапласа.

Тут: ; ;

; .

По формуле получим:

Тут применено свойство нечетности функции Лапласа . Значение найдено по таблице.

Аксиома Пуассона

Аксиома. Если число испытаний Наиболее вероятное число успехов велико, а возможность возникновения действия в каждом испытании мала ( ), то для вычисления вероятности используют приближенную формулу Пуассона , где - число возникновений действия в независящих испытаниях; - среднее число возникновения действия в испытаниях. Значения функции Пуассона приведены в таблице (Приложение 3).

Пример 8. Телефонная станция обслуживает 400 абонентов. Для каждого абонента возможность того, что в течение Наиболее вероятное число успехов часа он позвонит на станцию, равна 0,01. Отыскать возможность того, что в течение часа позвонят на станцию только один абонент.

Возможность того, что абонент дозвонится в течение часа (фуррор) мала, . Число схожих испытаний (звонки абонентов) велико .

Для нахождения вероятности применим аксиому Пуассона. Найдем значение , тогда возможность .

Контрольные вопросы

1. Опишите Наиболее вероятное число успехов схему независящих испытаний Бернулли. Приведите пример.

2. Можно ли считать схемой Бернулли неоднократное бросание кубика?

3. Возможность какого действия обозначается ?

4. Как можно отыскать возможность : 1) при маленьком числе испытаний; 2) при большенном числе испытаний?

5. Почему сумма всех биномиальных вероятностей равна 1?

6. Возможность какого действия обозначается ? Как можно отыскать эту возможность: 1) при маленьком числе испытаний; 2) при большенном числе Наиболее вероятное число успехов испытаний?

7. Как в последовательности независящих испытаний отыскать вероятности: 1) только 1-го фуррора; 2) хотя бы 1-го фуррора; 3) полного фуррора; 4) полной беды?

8. Что понимается под более возможным числом фурроров? Как отыскать это число?

9. При каких критериях применима локальная аксиома Лапласа?

10. Запишите функцию Лапласа и сформулируйте ее характеристики.

11. При каких критериях Наиболее вероятное число успехов применима интегральная аксиома Муавра-Лапласа?

12. Как находится параметр в локальной формуле Лапласа?

13. При каких критериях применима формула Пуассона? Приведите пример.

14. Как находится параметр для формулы Пуассона?


naimenovanie-voprosa-isi316v-1.html
naimenovanie-voprosa-isi886v-1.html
naimenovanie-voprosa-pteii10v-7.html